A cura di Bonvegna Michela, Brigandì Melania e Raffa Vera

"I numeri naturali sono stati creati dal buon Dio, tutto il resto è opera dell'uomo." (Leopold Kronecker 1823-1891)

Per definire il concetto di numero naturale sono stati proposti due teoremi:

1. derivarli dagli insiemi

2. costruirli a partire da altri termini primitivi ideati da Giuseppe Peano.

Gli assiomi di Peano

Peano precisò la definizione del limite superiore, e fornì il primo esempio di una curva che riempie una superficie (la cosiddetta Curva di Peano) mettendo così in evidenza come la definizione di curva, allora vigente, non fosse conforme a quanto intuitivamente si intende per curva.

Fu anche uno dei padri del calcolo vettoriale. Dimostrò importanti proprietà delle equazioni differenziali ordinarie, e ideò un metodo di integrazione per successive approssimazioni.

Sviluppò il Formulario mathematico, contenente oltre 4000 tra teoremi e formule, e diede una definizione assiomatica dei numeri naturali, i famosi Assiomi di Peano:

• ASSIOMA 1. Zero è un numero (0 ∈ N).
• ASSIOMA 2. Il successore di ogni numero è ancora un numero.
• ASSIOMA 3. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora anche i due numeri sono uguali
  
• ASSIOMA 4. Lo Zero non è successore di alcun numero

I numeri ordinali e cardinali

1. aspetto cardinale: il numero indica quanti sono gli elementi di un insieme senza tener conto di che cosa sono, indica una quantità.
   
2. aspetto ordinale: il numero indica quale posto occupa un dato elemento in un insieme ordinato.

Aspetto cardinale

Definizione:

Dati due insiemi A e B si dice che sono equipotenti se esiste una funzione biunivoca da A in B. Dati A e B sottoinsiemi di U si introduce una relazione R ⊆ P(U) × P(U) definita da: ARB se e solo se A è equipotente a B.

Grazie a questa relazione possiamo classificare gli insiemi "raggruppandoli" a seconda dell'equipotenza (chiamiamo classi questi "gruppi" di insiemi equipotenti).

Definiamo:

I zero (con simbolo 0) la classe (d'equivalenza) dell'insieme vuoto, cioè la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all'insieme vuoto.

I uno (con simbolo 1) la classe (d'equivalenza) dell'insieme avente come unico elemento ∅, cioè {∅}. E la classe che contiene tutti gli ` insiemi equipotenti all'insieme {∅}.

I due (con simbolo 2) la classe (d'equivalenza) dell'insieme avente come elementi ∅ e {∅} cioè {∅, {∅}. E la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all'insieme {∅, {∅}}.

Di conseguenza chiamiamo insieme dei numeri naturali e lo indichiamo con N, l'insieme formato dai simboli ora descritti: N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }

Aspetto ordinale

Per analizzare meglio l'aspetto ordinale occorre rifarsi agli assiomi di Peano(sopra riportati), che permettono di determinare la successione ordinata dei numeri naturali.

Il nostro sistema decimale

Il nostro sistema numerico è un sistema decimale, che si basa sulle potenze del 10; grazie all'ausilio di determinati procedimenti e però possibile la conversione da un sistema decimale, a un sistema binario, quadernario...ecc. [come riportato di fianco]

GLI INSIEMI NUMERICI

-L'insieme N: numeri naturali

E' l'insieme costituito da tutti i numeri utilizzati per contare; di tipo infinito e ordinato, che possiede un elemento minimo detto zero (0).

-L'insieme Z: numeri interi relativi

I numeri interi sono suddivisi in due differenti categorie: 

• Positivi   (+) dopo lo zero                   
• Negativi  (-) prima dello zero

Si chiama valore assoluto il numero considerato senza il segno positivo o negativo. 

-L'insieme Q: numeri razionali assoluti

Viene considerato il numero razionale ogni numero che può essere espresso sotto forma di frazione.

• Naturali 
  
• Interi relativi 
  
• Decimali finiti relativi 
  
• Decimali infiniti periodici semplici relativi 
  
• Decimali infiniti periodici misti relativi 
  

-L'insieme dei numeri irrazionali

Viene considerato numero irrazionale ogni numero (relativo) la cui rappresentazione decimale è illimitata e non periodica.

-L'insieme R: numeri reali

Chiamiamo numero reale ogni numero razionale e irrazionale. 

-L'insieme C: numeri complessi

Un numero complesso, con il coefficiente della parte immaginaria nullo, è un numero reale 

-fonte principale Wikipedia